抽象这种思想方法为什么这么重要呢？因为我们要把握住一个东西，就必须去掉很多你认为不重要的东西，要舍弃很多非本质的东西，就是必须通过抽象。抽象的思想方法对于研究科学，甚至处理日常生活里出现的问题都是重要的。如果你没有抽象的能力，你就不容易分清你现在究竟要解决的是什么问题。这是数学突出的特点，即它的抽象性。数学的抽象性使得数学广泛地应用于很多方面，应用到很多完全不同的方面。

第二个特点，因为数学的抽象性，所以对数学对象必须要讲得非常清楚，也就是要下定义。其他学科对定义的要求不太一样，我们可以大致描述一下那是个什么东西，听的人就能够明白。可是数学因为它的对象抽象，简单地描述是不行的，必须要有严格的定义。数学里的定义非常重要，这一点大家都能体会到。我在教学中发现，其他系的老师到数学系讲课，往往遇到一个很大的困难。因为学生什么都问定义，比如物理系的老师来讲课，他讲到“力”，学生就要求给“力”下定义。这非常困难，因为老师很难用几句话把“力”刻画清楚，不像数学里讲“圆”，就是从一点出发画出的等距离的轨迹，说得多清楚。

数学为什么对定义有这么严格的要求呢？就以为它的对象抽象，你不通过定义把它界定清楚，就没法讨论。我经常开玩笑地说，学数学的人是非常笨的，他听的东西，只要那个定义没说清楚，他就听不懂。在这个意义上，有它的好处，也有它的坏处。你什么都要定义，其实并不是所有的东西都可以下定义的。

数学的第三个特点是它的逻辑的严格性。因为它是抽象的，所以它的展开只能靠逻辑，这一点对我们来说也是非常重要的训练。这我们可以从平面几何来理解。学了平面几何究竟起什么作用呢？年轻的时候，也就是念了大学的数学以后，我就宣称平面几何没有用，一些难题现实中到哪里去找啊？20世纪50年代，我参加过中学数学的教学改革，就经常说平面几何应该取消。但后来当了几年教员后，我就发现，学过平面几何和没学过的学生有一点不一样，就是你说要证明一个问题，学过平面几何的学生很容易接受，但没有学过的接受起来就比较困难。“文革”期间的学生，你让他证明三角形的三个内角之和是180º，他们很多人就会说，这么简单的问题还要你证啊？拿量角器量一下不就得了，搞得我们啼笑皆非。这就说明，逻辑思维能力是需要通过一些具体的东西来培养的，平面几何就是培养人们逻辑思维能力的很好的媒介。过去我们曾经认为，通过上逻辑课可以直接获得逻辑思维能力，为此，在中学还专门开过形式逻辑课，但最后证明效果很差，后来才知道人的逻辑思维能力是不能单单通过上逻辑课来培养的。

通过学习数学，能够获得很好的思维习惯、思想方法，在无形中会对我们起作用，举个例子，“文革”中，经常下工厂联系实际。我们中的很多人可能对工厂里的实际问题不清楚，但是只要你能把逻辑关系理清楚，就能知道它是个什么问题，已知的条件是什么，要解决的问题是什么。这就是我从学习数学中逐渐学到的。

不同专业的数学教学计划，都涉及数学课安排多少的问题。我的看法，不是数学课越多越好，因为总的教学时间是有限的。考虑数学课的时候，应该从两方面来考虑，一是数学对你未来可能从事的专业有没有用，有多少用。用得多的，就要多下一些功夫。另一方面，还要顾及到数学是一个整体，学习数学可以培养一个人的的思想方法。为了培养思想方法，你就不能用多少学多少。这种情况是有的，在“文革”中，就曾经搞过数学结合专业讲。专业里用到什么就讲什么，完全把数学变成工具，这样其实是学不好数学的。所以，数学课程的设置，既要考虑到用，又要考虑到数学是一个完整的体系，要使学生对数学的整个结构有比较清楚的了解。

用得着的东西要讲，也不是所有用得着的东西都要讲。数学知识可以分两种，一种是比较基础的，一定要学通；还有一种是属于提高的，这些等到你用的时候再学还来得及。比如十几年前，大家都感到计算机的用途越来越广，于是就学习计算机语言。但后来的经验是，语言学多了也没有用。

有的同志经常说，数学是美的享受，这话我就不大懂。有些时候你可以说数学很美，但也就是说说，不能过分夸大。因为这不是数学的本质的规定性。

数学不只是知识，它同时培养人的能力，提高人的素质，能给人一无形中的影响。我经常碰到这样一些学生，他们毕业已经很多年了，并且完全改了行。他们告诉我，在大学一年纪时听过我的课，这些课对他们还是有影响的。听了这些话我当然很高兴。我觉得，他们讲的不完全是恭维我的话，我讲的那些内容可能他们早就忘了，那些公式、定理他们早就不记得了，但是他们也许在我的课上学会了一些思考问题的方法，这些方法能够使他们终身受益。记得有位数学家讲过这样一句话，今天数学教育的质量，决定着明天科学人才的水平。我把这句话提供给大家，供大家参考。