“丰富的”理论体系

现在数学的理论体系，一般是从公理体系出发，依次证明定理。公理系仅仅是假定，只要不包含矛盾，怎么都行。数学家当然具有选取任何公理系的自由。但在实际上，公理系如果不能以丰富的理论体系为出发点，便毫无用处。公理系不仅是无矛盾的，而且必须是丰富的。考虑到这点，公理系的选择自由就非常有限。

为了说明这件事，把数学的理论体系比作游戏，那么公理系就相当于游戏规则。所谓公理系丰富的意思就是游戏有趣。例如在围棋盘上布子的游戏，现在知道的只有围棋、五子棋和二类朝鲜围棋只 4 种类型。就是说，此刻所知道的公理系只有 4 个。除这 4 个以外，还有没有有趣的游戏呢？例如四子棋、六子棋、或者更一般的 n 子棋又如何呢？实际上下 n 子棋，当 n 在 4 以下，先手必胜，即刻分出胜负，所以索然无味；而当 n 在 6 以上时，则永远分不出胜负，也毫无意思。发现这种新的有趣的游戏并不容易。要找出跟围棋差不多有意思的游戏大概是不可能的。虽然这只是我的想法。数学也同样，发现丰富的公理系是极其困难的。公理系的选择自由实际上等于没有。

理论的丰富推广

数学家一般都本能地喜欢推广。例如假设存在以某个公理系 A 为基础的丰富的理论体系 S。这时谁都会想象到，从 A 中去掉若干个公理得到公理 B，从 B 出发推广 S 得到理论体系 T，再进行展开。稍加思索就觉得 T 是比 S 更丰富的体系，因为 T 乃是 S 的推广，但如果实际试验一下这种推广，许多场合与期待的相反，T 的内容贫乏得令人失望。这种时候，可以说 T 不过是 S 的稀疏化而不是推广。当然并非所有的推广都是稀疏化。数学从来是依据推广而发展起来的。最近推广不断堕入稀疏化，倒不能说是一种奇怪的现象。

那么，能发展成丰富的理论的推广，其特征是什么呢？进一步，公理系能作为丰富的理论体系的出发点的特征又是什么呢？现代数学对这种问题不感兴趣。例如，群论显然是比格论更为丰富的体系，但群的公理系优于格的公理系之点是什么呢？又在拓朴学、代数几何、多变量函数论等等中，基本层的理论的出发点（看来似乎）是毫无价值的推广，它不过是用及数替换以前的常数作为上同调群的系数。而实际上却是非常丰富的推广，其理由何在呢？与此相反，连续几何被看作是射影几何的令人惊叹的推广，但却没有什么发展，这又是为什么呢？当把数学作为一种现象直接观察时，所产生的这类问题不胜枚举。虽然我并不知道，它们是否都是不屑一顾的愚蠢问题，抑或能否建立一门的回答此类问题为目标、研究数学现象的学科，即数学现象学呢？但是如果能够建立，那一定是非常有意思的学科。为了研究数学现象，从开始起唯一明显的困难就是，首先必须对数学的主要领域有个全面的、大概的了解。正如前面说的，为此就得花费大量的时间。没有能够写出数学的现代史我想也是由于同样的理由。

小平邦彦简介

小平邦彦（KodairaKunihiko）是日本数学家，1915年3月16日生于日本东京。

1985年荣获沃尔夫数学奖，时年70岁。

主要成就：他对复流形、代数几何学作出了重大贡献。

“数学乃是按照严密的逻辑而构成的清晰明确的学问。”

——小平邦彦

“数学就是研究自然现象中的数学现象的科学”

——小平邦彦