数学的作用不局限于它是一门知识，更不仅仅是工具。哪个学科一旦与数学的某个问题挂上了钩，往往就能得到一个飞跃的发展。这方面的例子很多，比如，80年代Hauptmann得了诺贝尔化学奖，他解决的是如何用X光确定晶体结构的问题，主要靠的就是数学。获得诺贝尔化学奖以后，他跟人讲，我的化学水平就是大学念了半年的普通化学。这很值得我们深思。数学往往能够对不同的学科起作用，但对什么学科起作用，以什么样的方式起作用，并不是我们事先能够预料的。

从科学发展来看，数学和许多学科都发生过密切的关系，数学的发展和许多学科的发展都起着很相辅相成的作用——就是或者说数学的发展促进了其他学科的发展，或者其他学科向数学提出了许多具体的问题，结果也推动了数学的发展。比如，最早提出博弈论的是冯.诺依曼。二次世界大战时，德国的空军很强，飞机数量多，质量也好。为了解决如何以处于劣势的美国空军打败德国空军的问题，美国就找了一批数学家，冯.诺依曼就在其中。他是个大数学家，结果就是他从这个问题里发展出了博弈论。

 关于数学的地位，有的人提出这样一种说法，认为数学是科学的王后。这个说法很多数学家不赞成。数学并不是孤立于其他学科而高高在上的，而是和其他学科相辅相成，共同促进，共同发展。把数学与其他学科的关系说成是伙伴关系，也许更恰当一些。
    我们现在说的数学的定义是恩格斯在《自然辩证法》中提出来的。他说，数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的。恩格斯这个定义是19世纪提的，随着20世纪数学的发展，很多东西这个定义解决不了。说到数量关系，就是指数学研究数的运算。但随着数学的发展，数学运算的对象远远超出了数。空间形式是指当时被理解为客观世界的空间形式，也就是我们所说的三维空间。但是，几何学里的研究已经远远超出了三维，涉及到四维、五维、多维甚至无数维。所以拿19世纪的定义来概括数学就显得很不够。

    解放后，我参加了很多次讨论，就是如何给数学下定义。到现在为止，我觉得没有一个定义是让人满意的。这也说明数学的定义很难下。比如有人提出来，数学是研究“量”的，把“数”字去掉。他说，有“数”呢，就显得太死了。那什么叫“量”呢？我给提出这个概念的人说过，你说的“量”是一个哲学概念。现在又有人说数学研究的是秩序，也就是说，数学的研究就是给这个世界以秩序。想想这种说法也有点道理，但说的还是不大清楚。从这里可以看出一条，数学与其他自然科学和社会科学不一样，因为数学的研究对象是抽象的。而那些学科都有非常具体的对象，但数学没有。数学所以能用到自然科学，又能用到社会科学，甚至人文学科，就是因为它是抽象的。数学研究对象的抽象性首先有一条，就是能够训练我们一种思维方法——抽象思维方法。数学里即使是从自然数开始，也已经是非常抽象的概念了，要经过很多层抽象才能够得出来。你要研究数学发展史，就会发现数的概念的形成其实是很不容易的。所以，学数学可以训练人的抽象思维能力。

    抽象这种思想方法为什么这么重要呢？因为我们要把握住一个东西，就必须去掉很多你认为不重要的东西，要舍弃很多非本质的东西，就是必须通过抽象。抽象的思想方法对于研究科学，甚至处理日常生活里出现的问题都是重要的。如果你没有抽象的能力，你就不容易分清你现在究竟要解决的是什么问题。这是数学突出的特点，即它的抽象性。数学的抽象性使得数学广泛地应用于很多方面，应用到很多完全不同的方面。

    第二个特点，因为数学的抽象性，所以对数学对象必须要讲得非常清楚，也就是要下定义。其他学科对定义的要求不太一样，我们可以大致描述一下那是个什么东西，听的人就能够明白。可是数学因为它的对象抽象，简单地描述是不行的，必须要有严格的定义。数学里的定义非常重要，这一点大家都能体会到。我在教学中发现，其他系的老师到数学系讲课，往往遇到一个很大的困难。因为学生什么都问定义，比如物理系的老师来讲课，他讲到“力”，学生就要求给“力”下定义。这非常困难，因为老师很难用几句话把“力”刻画清楚，不像数学里讲“圆”，就是从一点出发画出的等距离的轨迹，说得多清楚。

     数学为什么对定义有这么严格的要求呢？就以为它的对象抽象，你不通过定义把它界定清楚，就没法讨论。我经常开玩笑地说，学数学的人是非常笨的，他听的东西，只要那个定义没说清楚，他就听不懂。在这个意义上，有它的好处，也有它的坏处。你什么都要定义，其实并不是所有的东西都可以下定义的。

    数学的第三个特点是它的逻辑的严格性。因为它是抽象的，所以它的展开只能靠逻辑，这一点对我们来说也是非常重要的训练。这我们可以从平面几何来理解。学了平面几何究竟起什么作用呢？年轻的时候，也就是念了大学的数学以后，我就宣称平面几何没有用，一些难题现实中到哪里去找啊？20世纪50年代，我参加过中学数学的教学改革，就经常说平面几何应该取消。但后来当了几年教员后，我就发现，学过平面几何和没学过的学生有一点不一样，就是你说要证明一个问题，学过平面几何的学生很容易接受，但没有学过的接受起来就比较困难。“文革”期间的学生，你让他证明三角形的三个内角之和是180º，他们很多人就会说，这么简单的问题还要你证啊？拿量角器量一下不就得了，搞得我们啼笑皆非。这就说明，逻辑思维能力是需要通过一些具体的东西来培养的，平面几何就是培养人们逻辑思维能力的很好的媒介。过去我们曾经认为，通过上逻辑课可以直接获得逻辑思维能力，为此，在中学还专门开过形式逻辑课，但最后证明效果很差，后来才知道人的逻辑思维能力是不能单单通过上逻辑课来培养的。

     通过学习数学，能够获得很好的思维习惯、思想方法，在无形中会对我们起作用，举个例子，“文革”中，经常下工厂联系实际。我们中的很多人可能对工厂里的实际问题不清楚，但是只要你能把逻辑关系理清楚，就能知道它是个什么问题，已知的条件是什么，要解决的问题是什么。这就是我从学习数学中逐渐学到的。

    不同专业的数学教学计划，都涉及数学课安排多少的问题。我的看法，不是数学课越多越好，因为总的教学时间是有限的。考虑数学课的时候，应该从两方面来考虑，一是数学对你未来可能从事的专业有没有用，有多少用。用得多的，就要多下一些功夫。另一方面，还要顾及到数学是一个整体，学习数学可以培养一个人的的思想方法。为了培养思想方法，你就不能用多少学多少。这种情况是有的，在“文革”中，就曾经搞过数学结合专业讲。专业里用到什么就讲什么，完全把数学变成工具，这样其实是学不好数学的。所以，数学课程的设置，既要考虑到用，又要考虑到数学是一个完整的体系，要使学生对数学的整个结构有比较清楚的了解。

    用得着的东西要讲，也不是所有用得着的东西都要讲。数学知识可以分两种，一种是比较基础的，一定要学通；还有一种是属于提高的，这些等到你用的时候再学还来得及。比如十几年前，大家都感到计算机的用途越来越广，于是就学习计算机语言。但后来的经验是，语言学多了也没有用。

    有的同志经常说，数学是美的享受，这话我就不大懂。有些时候你可以说数学很美，但也就是说说，不能过分夸大。因为这不是数学的本质的规定性。

    数学不只是知识，它同时培养人的能力，提高人的素质，能给人一无形中的影响。我经常碰到这样一些学生，他们毕业已经很多年了，并且完全改了行。他们告诉我，在大学一年纪时听过我的课，这些课对他们还是有影响的。听了这些话我当然很高兴。我觉得，他们讲的不完全是恭维我的话，我讲的那些内容可能他们早就忘了，那些公式、定理他们早就不记得了，但是他们也许在我的课上学会了一些思考问题的方法，这些方法能够使他们终身受益。记得有位数学家讲过这样一句话，今天数学教育的质量，决定着明天科学人才的水平。我把这句话提供给大家，供大家参考。